Rozwiązanie. (2)

Definicja 1.9. Zbiór M nazywa się wypukły, jeżeli dowolne dwa jego punkty można połączyć odcinkiem, należącym do zbioru M.

Definicja 1.10. Pole preferencji  nazywamy słabo wypukłe, jeżeli

1.      Przestrzeń towarów jest zbiorem wypukłym

2.      Dla  zbiór  jest zbiorem wypukłym w przestrzeni dóbr X.

Interpretacja w R²

Definicja 1.11. Pole preferencji  nazywamy silnie wypukłe, jeżeli

1.        Przestrzeń towarów jest zbiorem wypukłym

2.        Dla ,  (, ). zbiór  jest zbiorem wypukłym w przestrzeni dóbr X.

 

W większości modeli przypuszczamy, że są spełnione 3 dodatkowe założenia:

Z1. Monotoniczność (zjawisko niedosytu): jeżeli x<y.

Z2. Pole preferencji  - wypukłe.

Z3.  - relacja ciągła.

Twierdzenie 1.1. Jeżeli pole preferencji  jest słabo wypukłym, M jest niepustym, wypukłym podzbiorem X i istnieje M preferowany koszyk, to zbiór wszystkich M- preferowanych koszyków jest wypukły.

Twierdzenie 1.2. Jeżeli pole preferencji  jest silnie wypukłym, to w wypukłym zbiorze M istnieje nie więcej niż jeden M - preferowany koszyk.

 

1.8. Funkcja użyteczności.

Relację preferencji jest nie zbyt wygodna dla praktycznego zastosowania. Dla niektórych słabych założeniach

preferencji wygodnie przedstawiać w postaci liczbowego indykatora preferencji funkcji użyteczności, która dozwala zastąpić relację preferencji zwykłej relacją więcej.

Definicja 1.12. Określoną na przestrzeni dóbr funkcje  nazywamy funkcją użyteczności konsumenta związaną z relacją , jeżeli  spełnia ona następujące warunki:

1.

2.

Twierdzenie. 1.3. (Debreu). Jeżeli relacja preferencji jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności, związana z tą relacją

Twierdzenie 1.4. Jeżeli U(x) – funkcja użyteczności,  – funkcja rosnąca, to superpozycja f(U(x)) jest funkcją użyteczności związaną z tą samą relacją.

Przykłady funkcji użyteczności w :

multiplikatywna - , dla ;

logarytmiczna - , dla ;

addytywna - , dla ;